Mathématiques · 1re générale — spécialité mathématiques

Lire une parabole : forme canonique, courbe et racines

Fiche de cours

Écrit par Nadir Lajnef, professeur particulier de mathématiques et de physique-chimie depuis 2005 à Savigny-sur-Orge. Mise à jour le 29/09/2026.

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1Tout ce qu'il te faut

Une parabole est la courbe d'une fonction du second degré $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . Sur une parabole, on se pose toujours les mêmes trois questions :

• Où est son point le plus haut ou le plus bas ? C'est le sommet $S(\alpha\,;\beta)$ : il donne le minimum ou le maximum de $f$ .
• Où coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Ce sont les racines : les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=0$ (on dit aussi les solutions de $f(x)=0$ , ou les zéros de $f$ ). Sur le dessin, ce sont les points où la courbe traverse l'axe.
• Quelle est son allure ? Tournée vers le haut ou vers le bas, sommet à droite ou à gauche.

Pourquoi chercher les racines ? Pour savoir quand la fonction s'annule : à quel moment un ballon lancé touche le sol, pour quelle production un bénéfice est nul… Elles servent aussi à factoriser et à étudier le signe de $f$ .

Chaque écriture de $f$ répond à l'une de ces questions. Cette fiche t'apprend à choisir la bonne, et à passer de l'une à l'autre. Elle se suffit à elle-même : les rappels dont tu as besoin sont écrits ci-dessous, tu n'as rien d'autre à ressortir.

1. Les trois écritures d'une même fonction

À retenir · Développée, canonique et factorisée

Une fonction polynôme du second degré s'écrit de trois façons.

La forme développée :

f(x)=ax^{2}+bx+c\qquad\text{avec }a\neq 0

La forme canonique :

f(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta

C'est le même $a$ dans les deux. Et :

\alpha=\frac{-b}{2a}\qquad\qquad\beta=f(\alpha)

La forme factorisée, qui n'existe que si $\Delta\geq 0$ (c'est-à-dire s'il y a des racines) :

f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})

avec $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines, et toujours le même $a$ . Si $\Delta=0$ , il n'y a qu'une racine : $f(x)=a(x-x_{0})^{2}$ .

Chacune sert à quelque chose de différent : la développée donne $a$ , $b$ , $c$ — donc $\Delta$ et les racines. La canonique donne le sommet et l'allure de la courbe. La factorisée montre directement les racines.

2. Passer de la canonique à la développée

Quand l'utiliser : on te donne la forme canonique (donc le sommet) et il te faut la forme développée, pour calculer $\Delta$ ou chercher les racines.

On développe le carré, puis on distribue le $a$ . Exemple avec $f(x)=(x-2)^{2}+3$ :

(x-2)^{2}+3=x^{2}-4x+4+3

f(x)=x^{2}-4x+7

donc $a=1$ , $b=-4$ , $c=7$ .

L'endroit où l'on se trompe, c'est toujours le double produit. Dans $(x-\alpha)^{2}$ il vaut $2\times x\times\alpha$ , et c'est tout ce paquet qu'on multiplie ensuite par $a$ . Écris-le en entier avant de distribuer, tu ne te tromperas pas.

3. Passer de la développée à la canonique

Quand l'utiliser : on te donne la forme développée et on te demande le sommet, le minimum ou le maximum de $f$ .

Exemple 1. Écrire $f(x)=x^{2}-4x+7$ sous forme canonique.

$a=1$ , $b=-4$ et $c=7$ .

\alpha=\frac{-(-4)}{2\times 1}\quad\text{donc}\quad \alpha=2

f(2)=2^{2}-4\times 2+7

f(2)=3\quad\text{donc}\quad \beta=3

On conclut :

f(x)=(x-2)^{2}+3

C'est la fonction de la partie 2 : on vient de faire le trajet dans l'autre sens.

Exemple 2 — quand $a\neq 1$ . Écrire $f(x)=2x^{2}-12x+10$ sous forme canonique.

$a=2$ , $b=-12$ et $c=10$ .

\alpha=\frac{-(-12)}{2\times 2}\quad\text{donc}\quad \alpha=3

f(3)=2\times 3^{2}-12\times 3+10

f(3)=-8\quad\text{donc}\quad \beta=-8

On garde le $a=2$ devant la parenthèse :

f(x)=2(x-3)^{2}-8

Pour vérifier, on redéveloppe la forme canonique : on doit retomber sur la forme de départ. Avec l'exemple 2 :

2(x-3)^{2}-8=2(x^{2}-6x+9)-8

2(x-3)^{2}-8=2x^{2}-12x+10

C'est bien $f(x)$ . Et attention au signe de $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ : ici $b=-12$ , donc $-b=+12$ .

4. Le discriminant et les racines

Quand l'utiliser : on te demande où la courbe coupe l'axe des abscisses, ou de résoudre $f(x)=0$ . Sur le dessin, ce sont les points où la courbe traverse l'axe.

5. Passer à la forme factorisée

Quand l'utiliser : tu veux écrire $f$ comme un produit, ou voir directement en quels points la courbe coupe l'axe des abscisses.

Exemple 1. Écrire $f(x)=x^{2}-2x-3$ sous forme factorisée.

$a=1$ , $b=-2$ et $c=-3$ .

\Delta=(-2)^{2}-4\times 1\times(-3)

\Delta=4+12

\Delta=16

x_{1}=\frac{2-\sqrt{16}}{2}\quad\text{donc}\quad x_{1}=-1

x_{2}=\frac{2+\sqrt{16}}{2}\quad\text{donc}\quad x_{2}=3

On conclut, en écrivant $x-(-1)=x+1$ :

f(x)=(x+1)(x-3)

Exemple 2 — quand $a\neq 1$ . Écrire $f(x)=-x^{2}+4x-3$ sous forme factorisée.

$a=-1$ , $b=4$ et $c=-3$ .

\Delta=4^{2}-4\times(-1)\times(-3)

\Delta=16-12

\Delta=4

x_{1}=\frac{-4-\sqrt{4}}{2\times(-1)}\quad\text{donc}\quad x_{1}=3

x_{2}=\frac{-4+\sqrt{4}}{2\times(-1)}\quad\text{donc}\quad x_{2}=1

On garde le $a=-1$ devant :

f(x)=-(x-3)(x-1)

Pour vérifier, on redéveloppe :

-(x-3)(x-1)=-(x^{2}-4x+3)

-(x-3)(x-1)=-x^{2}+4x-3

On retrouve la forme de départ. Et sur la courbe, les racines $1$ et $3$ sont les abscisses des deux points où elle coupe l'axe.

6. Lire la courbe sans rien calculer

Quand l'utiliser : on te donne la forme canonique, ou une courbe, et tu veux son allure, son sommet et ses variations sans rien calculer.

7. Le pont entre les deux moitiés du chapitre

Quand l'utiliser : pour prévoir le nombre de racines avant de calculer $\Delta$ , puis contrôler ton calcul.

On voit souvent $\Delta$ d'un côté et la forme canonique de l'autre, sans que les deux se parlent. Or ils sont reliés par une seule égalité :

C'est un excellent moyen de contrôle : tu lis le nombre de racines sur le dessin, tu calcules $\Delta$ , et les deux doivent dire la même chose. Si elles se contredisent, il y a une erreur quelque part — et tu sais qu'il faut la chercher.

2Six courbes, lues une par une

Chaque courbe isole un paramètre à la fois : d'abord $\beta$ qui monte ou descend la parabole, puis $\alpha$ qui la déplace latéralement, puis le signe de $a$ qui la retourne. Pour chacune, on lit l'orientation, le sommet et le nombre de racines sans rien calculer — et on vérifie ensuite.

Courbe 1la parabole de référence

C'est la parabole de référence, celle dont toutes les autres sont des déplacements.

f(x)=x^{2}

Écrite avec $a$ , $\alpha$ et $\beta$ bien visibles :

f(x)=1\,(x-0)^{2}+0

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Correction

$a=1>0$ : tournée vers le haut. $\alpha=0$ et $\beta=0$ , donc le sommet est $S(0\,;0)$ , posé sur l'origine.

$\beta=0$ : le sommet touche l'axe des abscisses en un seul point. Il y a donc une racine double, et c'est $0$ .

Courbe 2la même, montée de 2

La même, montée de $2$ .

f(x)=x^{2}+2

Écrite avec $a$ , $\alpha$ et $\beta$ bien visibles :

f(x)=1\,(x-0)^{2}+2

$x$	$-1$	$0$	$1$
$f(x)$	$3$	$2$	$3$

Correction

$a=1>0$ , $\alpha=0$ , $\beta=2$ : sommet $S(0\,;2)$ , tournée vers le haut.

$a>0$ et $\beta=2>0$ : le point le plus bas de la courbe est à la hauteur $2$ , donc toute la parabole est au-dessus de l'axe. Elle ne le coupe jamais : aucune racine.

Courbe 3la référence, retournée

La courbe 1 retournée.

f(x)=-x^{2}

Écrite avec $a$ , $\alpha$ et $\beta$ bien visibles :

f(x)=-1\,(x-0)^{2}+0

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$-4$	$-1$	$0$	$-1$	$-4$

Correction

$a=-1<0$ : tournée vers le bas. Sommet $S(0\,;0)$ , et cette fois $\beta=0$ est le maximum.

C'est aussi la première où les variations s'inversent : la fonction croît jusqu'à $0$ , puis décroît. Avec $a>0$ c'était l'inverse.

$\beta=0$ : sommet sur l'axe, donc une racine double, égale à $0$ .

Courbe 4le modèle, traité en entier

Celle-ci déplace le sommet dans les deux directions à la fois. C'est l'exemple traité complètement : c'est le modèle des lignes du tableau à remplir.

f(x)=(x-2)^{2}+3

Écrite avec $a$ , $\alpha$ et $\beta$ bien visibles :

f(x)=1\,(x-2)^{2}+3

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$12$	$7$	$4$	$3$	$4$	$7$

Correction

1 Je lis la forme canonique. La parenthèse est $(x-2)$ , donc $\alpha=\mathbf{+2}$ — on retranche $2$ . Le sommet est à droite :

a=1\qquad \alpha=2\qquad \beta=3\qquad S(2\,;3)

$a>0$ : tournée vers le haut, et $3$ est le minimum de $f$ , atteint en $x=2$ .

2 J'annonce les racines avant de calculer. $a>0$ et $\beta=3>0$ : le point le plus bas est à la hauteur $3$ , la courbe reste au-dessus de l'axe. Je prévois donc aucune racine, c'est-à-dire $\Delta<0$ .

3 Je développe.

(x-2)^{2}+3=x^{2}-4x+4+3

f(x)=x^{2}-4x+7

donc $a=1$ , $b=-4$ , $c=7$ .

4 Je calcule $\Delta$ .

\Delta=b^{2}-4ac

\Delta=(-4)^{2}-4\times 1\times 7

\Delta=16-28

\Delta=-12

5 Je conclus, et je vérifie que les deux lectures s'accordent. $\Delta=-12<0$ : l'équation $f(x)=0$ n'a aucune solution réelle. C'est bien ce que le dessin annonçait.

$f(x)=x^{2}-4x+7$ , $\Delta=-12<0$ , aucune racine.

Contrôle du pont : $-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{-12}{4}$ , soit $-\dfrac{\Delta}{4a}=3$ , et c'est bien $\beta$ . ✓

Courbe 5le piège du signe

Le sommet est à gauche et en dessous. C'est la plus piégeuse des cinq : les deux signes se retournent en même temps.

f(x)=-(x+1)^{2}-2

Écrite avec $a$ , $\alpha$ et $\beta$ bien visibles :

f(x)=-1\,\bigl(x-(-1)\bigr)^{2}-2

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$
$f(x)$	$-6$	$-3$	$-2$	$-3$	$-6$

Correction

La parenthèse s'écrit $(x+1)$ , donc $\alpha=\mathbf{-1}$ : sommet à gauche. C'est exactement le piège du signe.

a=-1\qquad \alpha=-1\qquad \beta=-2\qquad S(-1\,;-2)

$a<0$ : tournée vers le bas, $-2$ est le maximum.

Racines : $a<0$ et $\beta=-2<0$ . Le point le plus haut de la courbe est déjà sous l'axe : toute la parabole est en dessous. Aucune racine.

3À toi de jouer

Le tableau se remplit ligne par ligne ; puis on met deux fonctions sous forme canonique ; les trois tracés sont l'essentiel, et les deux derniers sont les seuls de toute la fiche où la parabole traverse l'axe.

Compléter le tableau ci-dessous. Une ligne par fonction. La ligne de

(x-2)^{2}+3

est déjà remplie : c'est le modèle, et sa correction complète est la Courbe 4 de cette fiche.

Consigne qui compte : pour chaque ligne, remplis d'abord la colonne « combien de racines » en regardant le dessin (ou le signe de $a$ et de $\beta$ ). Calcule $\Delta$ ensuite. Les deux doivent s'accorder.

$f(x)$	$a$	$\alpha$	$\beta$	forme développée	$\Delta$	combien ?	racines
$x^{2}$
$x^{2}+2$
$-x^{2}$
$(x-2)^{2}+3$	$1$	$2$	$3$	$x^{2}-4x+7$	$-12$	aucune	—
$-(x+1)^{2}-2$
$-(x-2)^{2}+5$
$(x-1)^{2}-4$
$-(x+1)^{2}+4$

Mettre sous forme canonique chacune des fonctions : $f(x)=x^{2}+6x+5\qquad\qquad g(x)=-2x^{2}+8x-3$ Utilise la méthode en trois étapes de la partie 3, puis vérifie en redéveloppant.
Tracer la courbe de : $f(x)=-(x-2)^{2}+5$ Repère les points $(0\,;1)$ , $(1\,;4)$ , $(2\,;5)$ , $(3\,;4)$ , $(4\,;1)$ , puis place aussi $(-1\,;-4)$ et $(5\,;-4)$ . Marque le sommet.
Tracer la courbe de : $f(x)=(x-1)^{2}-4$ Fais d'abord ton tableau de valeurs pour $x$ allant de $-2$ à $4$ . Place le sommet, puis les deux points où la courbe coupe l'axe des abscisses : cette fois, ils tombent sur le quadrillage.
Tracer la courbe de : $f(x)=-(x+1)^{2}+4$ Même travail. Attention à la parenthèse : réécris-la sous la forme $\bigl(x-\ldots\bigr)^{2}$ avant de dire où est le sommet.

Voir les réponses

À ne regarder qu'après avoir cherché. La réponse seule ne suffit pas en contrôle : c'est la justification qui compte.

$x^{2}$ : $a=1$ , $\alpha=0$ , $\beta=0$ , développée $x^{2}$ , $\Delta=0$ , racine double $0$ . — $x^{2}+2$ : $1$ , $0$ , $2$ , $x^{2}+2$ , $\Delta=-8$ , aucune. — $-x^{2}$ : $-1$ , $0$ , $0$ , $-x^{2}$ , $\Delta=0$ , racine double $0$ . — $-(x+1)^{2}-2$ : $-1$ , $-1$ , $-2$ , $-x^{2}-2x-3$ , $\Delta=-8$ , aucune. — $-(x-2)^{2}+5$ : $-1$ , $2$ , $5$ , $-x^{2}+4x+1$ , $\Delta=20$ , deux racines $2-\sqrt{5}\approx-0{,}24$ et $2+\sqrt{5}\approx 4{,}24$ . — $(x-1)^{2}-4$ : $1$ , $1$ , $-4$ , $x^{2}-2x-3$ , $\Delta=16$ , deux racines $-1$ et $3$ . — $-(x+1)^{2}+4$ : $-1$ , $-1$ , $4$ , $-x^{2}-2x+3$ , $\Delta=16$ , deux racines $-3$ et $1$ . Contrôle du pont sur chaque ligne : $\beta=-\Delta/(4a)$ .
$f$ : $a=1$ , $b=6$ , $c=5$ . $\alpha=\dfrac{-6}{2}$ , donc $\alpha=-3$ . $f(-3)=9-18+5$ , soit $f(-3)=-4$ , donc $\beta=-4$ . Forme canonique : $f(x)=(x+3)^{2}-4$ — la parenthèse s'écrit $(x+3)$ parce que $\alpha=-3$ . Vérification : $(x+3)^{2}-4=x^{2}+6x+9-4$ , et on retrouve bien $x^{2}+6x+5$ . — $g$ : $a=-2$ , $b=8$ , $c=-3$ . $\alpha=\dfrac{-8}{2\times(-2)}$ , donc $\alpha=2$ . $g(2)=-8+16-3$ , soit $g(2)=5$ , donc $\beta=5$ . Forme canonique : $g(x)=-2(x-2)^{2}+5$ . Vérification : $-2(x-2)^{2}+5=-2(x^{2}-4x+4)+5$ , et en développant on retrouve bien $-2x^{2}+8x-3$ .
$a=-1$ , $\alpha=2$ , $\beta=5$ , sommet $S(2\,;5)$ , tournée vers le bas. $a<0$ et $\beta>0$ : signes contraires, la courbe traverse l'axe, il y a deux racines. Développée $-x^{2}+4x+1$ , $\Delta=20>0$ , racines $2\pm\sqrt{5}$ , soit environ $-0{,}24$ et $4{,}24$ — on les voit sur le dessin, mais on ne peut pas les lire exactement : c'est le calcul qui les donne.
valeurs : $f(-2)=5$ , $f(-1)=0$ , $f(0)=-3$ , $f(1)=-4$ , $f(2)=-3$ , $f(3)=0$ , $f(4)=5$ . $a=1$ , $\alpha=1$ , $\beta=-4$ , sommet $S(1\,;-4)$ . $a>0$ et $\beta<0$ : signes contraires, donc deux racines. Développée $x^{2}-2x-3$ , $\Delta=4+12$ , soit $\Delta=16$ , $\sqrt{\Delta}=4$ , racines $\dfrac{2-4}{2}=-1$ et $\dfrac{2+4}{2}=3$ — exactement les deux points lus sur le dessin.
$(x+1)^{2}=\bigl(x-(-1)\bigr)^{2}$ , donc $\alpha=-1$ . Valeurs : $f(-4)=-5$ , $f(-3)=0$ , $f(-2)=3$ , $f(-1)=4$ , $f(0)=3$ , $f(1)=0$ , $f(2)=-5$ . $a=-1$ , $\beta=4$ , sommet $S(-1\,;4)$ , tournée vers le bas. $a<0$ et $\beta>0$ : signes contraires, donc deux racines. Développée $-x^{2}-2x+3$ , $\Delta=4+12$ , soit $\Delta=16$ , racines $-3$ et $1$ .

Ta question	L'écriture à utiliser	Ce que tu utilises
Où est le sommet ? Quel est le minimum ou le maximum ?	la canonique $a(x-\alpha)^{2}+\beta$	$S(\alpha\,;\beta)$
Où la courbe coupe-t-elle l'axe ? Quelles sont les racines ?	la développée $ax^{2}+bx+c$	$\Delta$ , puis les formules des racines
Je veux voir les racines directement	la factorisée $a(x-x_{1})(x-x_{2})$	$x_{1}$ et $x_{2}$ (partie 5)
Combien de racines, sans calculer ?	la canonique	le signe de $a$ et de $\beta$
J'ai une écriture et il me faut l'autre	les deux	les parties 2 et 3