Mathématiques · 3e

La trigonométrie dans le triangle rectangle

Fiche de cours

Écrit par Nadir Lajnef, professeur particulier de mathématiques et de physique-chimie depuis 2005 à Savigny-sur-Orge. Mise à jour le 29/09/2026.

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1L'essentiel du cours

Au collège, dans un triangle rectangle, on a deux outils principaux : le théorème de Pythagore, qui relie les longueurs des trois côtés, et la trigonométrie, qui relie un angle et les côtés. Cette fiche traite de la trigonométrie, qui permet de :

1. calculer une longueur à partir d'un angle (autre que l'angle droit) et d'un côté ;
2. calculer un angle à partir de deux longueurs.

1.1 Le vocabulaire : hypoténuse, adjacent, opposé

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On s'intéresse à l'angle $\widehat{B}$ .

• L'hypoténuse est $[BC]$ : le côté en face de l'angle droit. C'est toujours le plus long.
• Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est $[AB]$ : il touche l'angle $\widehat{B}$ (sans être l'hypoténuse).
• Le côté opposé à $\widehat{B}$ est $[AC]$ : il est en face de l'angle $\widehat{B}$ .

1.2 Les trois formules

Pour ne pas les mélanger : retiens le mot CAH SOH TOA. Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent.

2. Ce que l'on te demande en contrôle

En contrôle, on te demande presque toujours l'une de ces deux choses :

1. calculer une longueur dans un triangle rectangle à partir d'un angle (autre que l'angle droit) et d'un côté ;
2. calculer un angle à partir de deux longueurs.

2.1 Calculer une longueur à partir d'un angle et d'un côté

Exemple 1. $ABC$ est rectangle en $A$ , $\widehat{B}=40^\circ$ et $BC=12$ cm. Calculer $AC$ .

On connaît l'hypoténuse $BC$ et on cherche le côté opposé $AC$ : c'est le sinus.

\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}\quad\text{donc}\quad \sin 40^\circ=\dfrac{AC}{12}

AC=12\times\sin 40^\circ

AC\approx 7{,}7\text{ cm}

Exemple 2. Même triangle. Calculer $AB$ .

On connaît l'hypoténuse et on cherche le côté adjacent : c'est le cosinus.

\cos 40^\circ=\dfrac{AB}{12}\quad\text{donc}\quad AB=12\times\cos 40^\circ

AB\approx 9{,}2\text{ cm}

Exemple 3 — quand l'inconnue est en bas. $ABC$ est rectangle en $A$ , $\widehat{B}=35^\circ$ et $AC=5$ cm. Calculer $AB$ .

On connaît le côté opposé $AC$ et on cherche l'adjacent $AB$ : c'est la tangente.

\tan 35^\circ=\dfrac{AC}{AB}

\tan 35^\circ=\dfrac{5}{AB}\quad\text{donc}\quad AB=\dfrac{5}{\tan 35^\circ}

AB\approx 7{,}1\text{ cm}

2.2 Calculer un angle à partir de deux longueurs

Ici, on connaît deux longueurs (deux côtés) et on cherche l'angle. On choisit la formule qui contient ces deux côtés, on écrit l'égalité comme avant, puis on utilise la touche $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ de la calculatrice (souvent en appuyant d'abord sur « 2nde » ou « shift »). Selon les modèles, ces touches s'appellent aussi arccos, arcsin et arctan.

Exemple 4. $ABC$ est rectangle en $A$ , $AB=6$ cm et $BC=10$ cm. Calculer $\widehat{B}$ .

On connaît l'adjacent et l'hypoténuse : c'est le cosinus.

\cos\widehat{B}=\dfrac{AB}{BC}

\cos\widehat{B}=\dfrac{6}{10}\quad\text{donc}\quad \widehat{B}=\cos^{-1}(0{,}6)

\widehat{B}\approx 53^\circ

Exemple 5. $ABC$ est rectangle en $A$ , $AC=7$ cm et $AB=5$ cm. Calculer $\widehat{B}$ .

On connaît l'opposé et l'adjacent : c'est la tangente.

\tan\widehat{B}=\dfrac{AC}{AB}

\tan\widehat{B}=\dfrac{7}{5}\quad\text{donc}\quad \widehat{B}=\tan^{-1}(1{,}4)

\widehat{B}\approx 54^\circ

3. Pythagore ou trigonométrie ?

Les deux méthodes vivent dans le triangle rectangle. Pour choisir, regarde ce que l'énoncé te donne :

• deux côtés connus et le troisième cherché : Pythagore ;
• un angle et un côté pour trouver une longueur, ou deux côtés pour trouver un angle : trigonométrie.

Pour vérifier ton résultat : dans l'exemple 1 et 2, on trouve $AC\approx 7{,}7$ et $AB\approx 9{,}2$ . Avec Pythagore, $7{,}7^2\approx 59{,}3$ et $9{,}2^2\approx 84{,}6$ , donc $7{,}7^2+9{,}2^2\approx 143{,}9$ , alors que $12^2=144$ . Les deux méthodes se recoupent.

2Exercices types — de la longueur au problème

Trois séries. La correction suit chaque exercice : cherche d'abord, vérifie ensuite.

Niveau 1 — un angle et un côtéà faire

1. $RST$ est rectangle en $S$ , $\widehat{R}=32^\circ$ et $RT=15$ cm. Calculer $ST$ .

2. $UVW$ est rectangle en $V$ , $\widehat{U}=65^\circ$ et $UV=4$ cm. Calculer $VW$ .

Correction

1. $RT$ est l'hypoténuse et $ST$ l'opposé de $\widehat{R}$ : $\sin 32^\circ=\dfrac{ST}{15}$ , donc $ST=15\times\sin 32^\circ$ , soit $ST\approx 7{,}9$ cm.

2. $UV$ est l'adjacent et $VW$ l'opposé de $\widehat{U}$ : $\tan 65^\circ=\dfrac{VW}{4}$ , donc $VW=4\times\tan 65^\circ$ , soit $VW\approx 8{,}6$ cm.

Niveau 2 — un angle à trouverà faire

$XYZ$ est rectangle en $Y$ , $XY=5$ cm et $XZ=13$ cm.

1. Calculer $\widehat{X}$ .

2. En déduire $\widehat{Z}$ .

Correction

1. $XY$ est l'adjacent de $\widehat{X}$ et $XZ$ l'hypoténuse : c'est le cosinus. $\cos\widehat{X}=\dfrac{5}{13}$ , donc $\widehat{X}=\cos^{-1}\!\left(\tfrac{5}{13}\right)$ , soit $\widehat{X}\approx 67^\circ$ .

2. $\widehat{Z}=90^\circ-67^\circ$ , soit $\widehat{Z}=23^\circ$ .

Niveau 3 — deux problèmesà faire

1. Une échelle de 4 m est appuyée contre un mur. Elle fait un angle de $70^\circ$ avec le sol. À quelle hauteur du sol touche-t-elle le mur ? À quelle distance du mur est son pied ? (arrondir au dixième de mètre)

2. Une rampe d'accès mesure 6 m de long et monte de 0,5 m. Quel angle fait-elle avec le sol ? (arrondir au dixième de degré)

Correction

1. L'échelle est l'hypoténuse (4 m). La hauteur est le côté opposé à l'angle au sol : $\sin 70^\circ=\dfrac{h}{4}$ , donc $h=4\times\sin 70^\circ$ , soit $h\approx 3{,}8$ m. La distance au mur est le côté adjacent : $d=4\times\cos 70^\circ$ , soit $d\approx 1{,}4$ m.

2. La rampe est l'hypoténuse (6 m) et la hauteur gagnée le côté opposé (0,5 m) : $\sin\alpha=\dfrac{0{,}5}{6}$ , donc $\alpha=\sin^{-1}\!\left(\tfrac{0{,}5}{6}\right)$ , soit $\alpha\approx 4{,}8^\circ$ .

3À toi de jouer

Chaque triangle est rectangle. Écris toujours l'égalité (cosinus, sinus ou tangente) avant de calculer. Longueurs arrondies au dixième, angles arrondis au degré. Les réponses sont en fin de fiche.

$DEF$ est rectangle en $E$ , $\widehat{D}=50^\circ$ et $DF=9$ cm. Calculer $EF$ , puis $DE$ .
$GHI$ est rectangle en $H$ , $\widehat{G}=28^\circ$ et $GH=8$ cm. Calculer $HI$ , puis $GI$ .
$JKL$ est rectangle en $K$ , $JK=4{,}5$ cm et $JL=9$ cm. Calculer $\widehat{J}$ .
$MNP$ est rectangle en $N$ , $MN=6$ cm et $NP=8$ cm. Calculer $\widehat{M}$ , puis $\widehat{P}$ .

Voir les réponses

À ne regarder qu'après avoir cherché. La réponse seule ne suffit pas en contrôle : c'est la justification qui compte.

réponse attendue : $DF$ est l'hypoténuse. $EF$ est l'opposé : $\sin 50^\circ=\dfrac{EF}{9}$ , donc $EF=9\times\sin 50^\circ$ , soit $EF\approx 6{,}9$ cm. $DE$ est l'adjacent : $DE=9\times\cos 50^\circ$ , soit $DE\approx 5{,}8$ cm.
réponse attendue : $GH$ est l'adjacent. $HI$ est l'opposé : $\tan 28^\circ=\dfrac{HI}{8}$ , donc $HI=8\times\tan 28^\circ$ , soit $HI\approx 4{,}3$ cm. $GI$ est l'hypoténuse : $\cos 28^\circ=\dfrac{8}{GI}$ , donc $GI=\dfrac{8}{\cos 28^\circ}$ , soit $GI\approx 9{,}1$ cm.
réponse attendue : adjacent et hypoténuse, donc le cosinus. $\cos\widehat{J}=\dfrac{4{,}5}{9}$ , soit $\cos\widehat{J}=0{,}5$ , donc $\widehat{J}=\cos^{-1}(0{,}5)$ , soit $\widehat{J}=60^\circ$ .
réponse attendue : $NP$ est l'opposé de $\widehat{M}$ et $MN$ son adjacent, donc la tangente. $\tan\widehat{M}=\dfrac{8}{6}$ , donc $\widehat{M}=\tan^{-1}\!\left(\tfrac{8}{6}\right)$ , soit $\widehat{M}\approx 53^\circ$ . Puis $\widehat{P}=90^\circ-\widehat{M}$ , soit $\widehat{P}\approx 37^\circ$ .