Ton Enseignant Nadir Lajnef · Maths & Physique-Chimie

Mathématiques · 2de et 1re

L'ensemble de définition d'une fonction

Fiche de cours

Écrit par Nadir Lajnef, professeur particulier de mathématiques et de physique-chimie depuis 2005 à Savigny-sur-Orge. Mise à jour le 29/09/2026.

Télécharger la fiche en PDF

1L'essentiel du cours

Avant d'utiliser une fonction, il faut savoir sur quels nombres elle a le droit de travailler. C'est tout l'objet de ce rappel.

Une fonction, c'est une machine : on lui donne un nombre xx, elle rend son image f(x)f(x). Mais certaines machines refusent certains nombres. Sur ta calculatrice, « 1÷01\div 0 » ou « −3\sqrt{-3} » affichent une erreur : ces nombres n'ont pas d'image.

Pourquoi le chercher ? C'est la première étape quand on étudie une fonction : avant de calculer une image, de résoudre une équation, de dresser un tableau de variations ou de tracer la courbe, on précise sur quels nombres on a le droit de travailler. Sur le dessin, la courbe n'existe que pour les xx de Df\mathcal{D}_f : un nombre interdit, c'est un trou dans la courbe.

1. Une fonction affine : aucun nombre interdit

Quand l'utiliser : quand la fonction n'a ni fraction ni racine. Il n'y a rien à interdire.

f(x)=3x+5f(x)=3x+5. Je peux remplacer xx par tous les réels que je veux :

f(0)=3×0+5doncf(0)=5f(0)=3\times 0+5\quad\text{donc}\quad f(0)=5f(−10)=3×(−10)+5doncf(−10)=−25f(-10)=3\times(-10)+5\quad\text{donc}\quad f(-10)=-25f(2)=32+5f(\sqrt{2})=3\sqrt{2}+5f ⁣(17)=3×17+5f\!\left(\tfrac{1}{7}\right)=3\times\tfrac{1}{7}+5f ⁣(17)=37+357f\!\left(\tfrac{1}{7}\right)=\tfrac{3}{7}+\tfrac{35}{7}f ⁣(17)=387f\!\left(\tfrac{1}{7}\right)=\tfrac{38}{7}

Aucun réel n'est interdit, donc :

Df=R\mathcal{D}_f=\mathbb{R}

ou, en intervalle :

Df=]−∞ ; +∞[\mathcal{D}_f=\left]-\infty\,;\,+\infty\right[

2. La fonction inverse : le zéro interdit

Quand l'utiliser : dès qu'il y a une division par xx : on doit toujours vérifier que le dénominateur ne s'annule pas.

f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}.

f(2)=12f(7)=17f(2)=\tfrac{1}{2}\qquad f(\sqrt{7})=\tfrac{1}{\sqrt{7}}f(−3)=1−3doncf(−3)=−13f(-3)=\tfrac{1}{-3}\quad\text{donc}\quad f(-3)=-\tfrac{1}{3}f ⁣(15)=115f\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=\dfrac{1}{\tfrac{1}{5}}f ⁣(15)=1×51f\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=1\times\tfrac{5}{1}f ⁣(15)=5f\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=5

Mais f(0)=10f(0)=\dfrac{1}{0} n'existe pas : 00 n'a pas d'image. Tous les réels sont donc autorisés, sauf lui :

Df=]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[\mathcal{D}_f=\left]-\infty\,;\,0\right[\,\cup\,\left]0\,;\,+\infty\right[

qu'on note aussi :

Df=R∗\mathcal{D}_f=\mathbb{R}^{*}
x = 0 interdit

3. Un quotient quelconque

Quand l'utiliser : dès que xx (ou une expression avec xx) est au dénominateur.

f(x)=x−5x+3f(x)=\dfrac{x-5}{x+3}.

f(1)=1−51+3doncf(1)=−1f(1)=\dfrac{1-5}{1+3}\quad\text{donc}\quad f(1)=-1f(5)=5−55+3doncf(5)=0f(5)=\dfrac{5-5}{5+3}\quad\text{donc}\quad f(5)=0f(−3)=−3−5−3+3doncf(−3)=−80impossiblef(-3)=\dfrac{-3-5}{-3+3}\quad\text{donc}\quad f(-3)=\dfrac{-8}{0}\quad\text{impossible}

Donc −3-3 n'a pas d'image :

Df=R∖{−3}\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}

c'est-à-dire, en intervalles :

Df=]−∞ ; −3[ ∪ ]−3 ; +∞[\mathcal{D}_f=\left]-\infty\,;\,-3\right[\,\cup\,\left]-3\,;\,+\infty\right[
x = −3 interdit

Remarque. Dans la pratique, on ne s'amuse pas à « tester » les nombres un par un. On cherche directement ce qui est interdit : pour f(x)=x−5x+3f(x)=\dfrac{x-5}{x+3}, il faut que x+3≠0x+3\neq 0, c'est-à-dire x≠−3x\neq -3, donc Df=R∖{−3}\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}.

4. La racine carrée : pas de négatif dessous

Quand l'utiliser : dès que xx (ou une expression avec xx) est sous une racine carrée.

f(x)=xf(x)=\sqrt{x}.

f(0)=0doncf(0)=0f(0)=\sqrt{0}\quad\text{donc}\quad f(0)=0f(1)=1doncf(1)=1f(1)=\sqrt{1}\quad\text{donc}\quad f(1)=1f(25)=25doncf(25)=5f(25)=\sqrt{25}\quad\text{donc}\quad f(25)=5f(−3)=−3impossiblef(-3)=\sqrt{-3}\quad\text{impossible}

Il faut x⩾0x\geqslant 0, donc :

Df=R+\mathcal{D}_f=\mathbb{R}^{+}

ou, en intervalle :

Df=[0 ; +∞[\mathcal{D}_f=\left[0\,;\,+\infty\right[
pas de courbepour x < 0(0 ; 0)

2À toi de jouer

Déterminer l'ensemble de définition de chacune de ces trois fonctions. On ne teste pas les nombres un par un : on cherche ce qui est interdit. Les réponses sont en fin de fiche.

  1. f(x)=−4x+5f(x)=-4x+5
  2. f(x)=xx−4f(x)=\dfrac{x}{x-4}
  3. f(x)=x−4f(x)=\sqrt{x-4}
Voir les réponses

À ne regarder qu'après avoir cherché. La réponse seule ne suffit pas en contrôle : c'est la justification qui compte.

  1. réponse attendue : ni quotient ni racine, aucun réel n'est interdit ; Df=R\mathcal{D}_f=\mathbb{R}.
  2. réponse attendue : quotient, il faut x−4≠0x-4\neq 0, donc x≠4x\neq 4 ; Df=R∖{4}\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{4\}.
  3. réponse attendue : racine, il faut x−4⩾0x-4\geqslant 0, donc x⩾4x\geqslant 4 ; Df=[4 ;+∞[\mathcal{D}_f=[4\,;+\infty[. Le 44 est cette fois autorisé, puisque 0=0\sqrt{0}=0.